Esses dias, tomando banho de mar, me vi pensando na forma das potências de dois em base dez.

É fácil ver que não existe potência de 2 que termine em 0, já que qualquer número que termina em 0 é múltiplo de 5.

Na verdade, é fácil ver (com um raciocínio indutivo com módulo 10) que o último algarismo das potências de 2 vai seguindo a sequência (2, 4, 8, 6) infinitamente, de tal forma que o último algarismo de $2^k$ (k > 0) é:

• 6, se o resto da divisão de k por 4 for 0
• 2, se o resto da divisão de k por 4 for 1
• 4, se o resto da divisão de k por 4 for 2
• 8, se o resto da divisão de k por 4 for 3

Mas aí fiquei pensando em potências de 2 que acabassem com uma porção de doises. Algo como 3103912840123891294805398108310312222 (esse número aí não tem nada de especial, foi só eu batendo no teclado loucamente e terminando com 2222). Como eu faria pra encontrá-las? Será que existem?

Comecei pensando em coisas do tipo 222…222, isto é $2 \times 10^n + 2 \times 10^{n-1} + 2 \times 10^{n-2} + \cdots + 2 \times 10^0$.

Podemos colocar 20 em evidência, ficando com $20 \times (10^{n-1} + 10^{n-2} + \cdots + 10^0) + 2$.

A princípio isso não parece ajudar muito, mas vejam que interessante:

$20 \times x + 2 = 2(10x+1)$ (x é qualquer número inteiro > 0)

Bem… $10x+1$ certamente não é uma potência de 2 (porque termina em 1).

Logo, $2(10x+1)$ também não é uma potência de 2, independente da maluquice que a gente coloque no lugar de $x$.

Portanto, não existem potências de 2 que terminem em 22! Mais que isso: não existem potências da forma 20x+2, ou seja, não existem potências de 2 que terminem em 02, 22, 42, 62 ou 82! Não é incrível? Não é nada muito revolucionário ou complexo, mas nunca tinha parado pra pensar nisso.

Lá no início tínhamos visto que o último algarismo de $2^k$ é 2 se e somente se o resto da divisão de k por 4 for 1. Logo, concluímos (e dá pra imaginar várias outras provas simples pra esse fato, pensando bem, por exemplo notando que $12 \times 16 \equiv 12 \mod 20$) que para todo k > 0 tal que o resto da divisão de k por 4 seja 1 vale que o resto da divisão de 2^k por 20 é 12.

As primeiras potências de 2 que terminam em 2 são:

• $2^1 = 2$ (que ignorei aí em cima quando falei que x > 0 no 20x+2)
• $2^5 = 32$
• $2^9 = 512$
• $2^{13} = 8192$
• $2^{17} = 131072$
• $2^{21} = 2097152$
• $2^{25} = 33554432$

O que parece nos indicar que, da mesma forma que o último algarismo das potências de 2 seguem a sequência (2, 4, 8, 6), o penúltimo algarismo das potências de 2 que acabam em 2 seguem a sequência (9, 7, 5, 3, 1). Isso é fácil de ver: basta fazer umas multiplicações por 16 dentro do módulo 100.