Estou em busca de wormholes pra poder aproveitar melhor o tempo. Se alguém encontrar um, me avise nos comentários!

Ah… Falando nisso, lembrei do problema Buracos de Minhoca que caiu na Seletiva para a Internacional do ano passado… Aquele no qual eu perdi 60 pontos porque não pensei num algoritmo que parece-me óbvio agora. Ao invés de resolver em $O(n^{2})$, resolvi em $O(n^{3})$… Eu podia fazer duas buscas em profundidade, mas fiz n buscas em profundidade! Preciso escrever um artigo sobre ele depois… Alegrem-se, porque nessas férias voltarei a escrever sobre algoritmos e programação lógica a todo vapor, e em novo endereço. ;-)

Eu até tentei escrever um artigo por dia na semana passada, durante o curso da seletiva brasileira para a Olimpíada Internacional de Informática, mas não deu tempo… Então aqui vai um resumo feito uma semana depois do final do curso, separado em tópicos, com o título pouco criativo “There and back again…”

Nível mais alto

Comparando a prova da segunda fase da OBI2006 com a prova da OBI do ano passado, já era possível perceber que o nível esse ano subiu. E, como já esperado, o nível do curso e das pessoas também subiu, o que é excelente para o Brasil.

Mais prática, menos teoria

Neste ano não aconteceu a programação “normal” que tivemos nos últimos dois anos: aula teórica (só um professor apresentando slides e nós anotando, sem computadores) durante a manhã e aula prática durante a tarde.

Nos dois períodos nossas aulas foram no laboratório, com computadores, onde resolvemos uma porção de problemas do treinamento para a ACM da Universidade de Valladollid.

Criei uma pasta no meu servidor com todos os problemas que eu consegui resolver (alguns deles ficaram pela metade): tiagomadeira.net/pub/uva/ (essa pasta infelizmente foi perdida com o tempo).

Problemas sobre mais de um conteúdo

Uma característica interessante dos problemas desse ano (do treinamento e da prova) foi o uso de mais de um tipo de algoritmo para fazer a solução. A combinação mais comum foi geometria + grafos, que caiu inclusive na prova da Seletiva, no problema Labirinto.

A Prova

Primeiro Dia – Quadrado Romano

[Enunciado] 30 minutos tentando pensar em algum tipo de recorrência, 1h implementando uma solução força bruta! No final, pensei que faria uns 50 pontos (perderia um pouco por causa do tempo), mas perdi alguns pontos por resposta errada, ainda não sei por quê!

Solução: romano.c (infelizmente foi perdido com o tempo)

Pontos: 10/100

Segundo Dia – Euros

[Enunciado] Durante as duas horas da prova fiquei procurando uma recorrência. Descobri que estou muito newbie em programação dinâmica. Não programei uma linha de código…

Pontos: 0/100

Terceiro Dia – Labirinto

[Enunciado] Olhei o enunciado e já saquei o que o problema queria. Eu tenho uma boa noção de grafos (embora precise estudar fluxos) e o curso trabalhou bastante algoritmos geométricos, então sem maiores problemas fiz o algoritmo, testei várias vezes, achei que ia tirar 100. No fim, não sei o que houve, se foi falta de tempo ou resposta errada. Só vi que fiz 40 pontos…

Solução: labirinto.c (infelizmente foi perdido com o tempo)

Pontos: 40/100

Quarto Dia – Prova Final

[Caderno de Tarefas] Li todos os problemas e achei que poderia ir bem na prova (o primeiro problema eu tinha certeza que não conseguiria, mas o segundo e o terceiro dava pra fazer). Então, fui direto para o segundo problema, acreditando que era o mais fácil. Mas depois de bolar vários algoritmos, ter respostas erradas e tempos muito altos, tive que ficar com uma solução precária, um Floyd Warshall para cada troca de vértices (resultado: [tex]O(n^{5})[/tex]!) Aí depois não deu tempo de fazer o terceiro problema, mesmo eu tendo esboçado sua solução.

Solução do Teletransporte: tele.c (infelizmente foi perdido com o tempo)

Pontos: 40/300

Conclusão

O legal é que esse curso sempre dá vontade de estudar, além de ensinar bastante… Aqui ficam registrados meus objetivos e metas pro segundo semestre de 2006 e primeiro semestre de 2007.

Objetivos

• Medalha de ouro na Olimpíada Brasileira de Informática do ano que vem.
• Visitar a Croácia representando o Brasil na Olimpíada Internacional de Informática do ano que vem.
• Vencer a Olimpíada Regional de Matemática (não dá pra ficar sem nenhuma medalha nesse ano, né?)

Metas

• Comprar e ler Programming Challenges.
• Estudar programação dinâmica. Conhecer os algoritmos mais comuns.
• Estudar fluxos em rede e ordenação topológica.
• Estudar matemática, inclusive recorrências e geometria (que não ajudam só para olimpíada de matemática, mas pras olimpíadas de informática também)

Estou hospedado na casa do meu irmão, em Campinas, desde ontem de manhã (viajei domingo a noite de ônibus). Hoje foi o primeiro dia do curso preparatório para a seletiva da IOI2006, que começou às 9h00 devagarinho.

O dia hoje serviu para “nivelar” os participantes e treinar um pouquinho a resolução de problemas. De manhã, algumas pessoas tiveram uma aula sobre estruturas de dados, grafos e o básico de programação dinâmica e outras (a maioria) resolveram três problemas da Universidade de Valladollid:

412 – Pi

Enunciado – Minha Solução

Não é um problema muito complexo, mas eu usava um algoritmo muito demorado para determinar se dois números tinham ou não um fator comum, que não passava por tempo limite excedido. Então, o Fábio Dias Moreira nos passou uma propriedade bem interessante de MDC (Máximo Divisor Comum):

mdc(x, y) = mdc(x%y, y)

(onde o % é o resto da divisão, no C)

Aí dá pra fazer uma função recursiva mdc bem rápida, que eu apliquei na [minha solução][3].

441 – Lotto

Enunciado – Minha Solução

Esse problema nem tem muito o que comentar. Implementação de dois minutos… hehehe… Eu podia ter feito uma função recursiva pra ficar um pouco mais “decente” (e poder mudar de 6 para outro número no futuro), mas não tinha necessidade, então ficou assim mesmo (e passou de primeira no site).

543 – Goldbach’s Conjecture

Enunciado – Minha Solução

O objetivo é provar a Conjectura de Goldbach para todos os pares menores que 1000000. Meu programa ainda não roda dentro do tempo, mas depois vou continuar a adapta-lo. Eu posso, por exemplo, ir fazendo a média entre o maior possível e o menor possível (aquele “algoritmo” que usamos quando alguém fala: “Pensei num número de 1 a 100. Tente advinhar…”) ao invés desses loops, o que já vai tornar o programa mais rápido (não sei se o suficiente).

Nesse problema, o Fábio me lembrou do Crivo de Eratóstenes. Bem interessante, nunca tinha implementado. :)

Provavelmente pela primeira vez, o almoço dos participantes do curso não foi no “bandeijão”, mas sim num restaurante chique perto do IC. Achei bem legal… Além de andar menos, o ambiente é melhor e a comida também.

Durante a tarde, o Fábio nos passou o algoritmo de Longest Common Subsequence (esse eu já sabia… hehehe) e depois o algoritmo que resolve o problema Subseqüências que caiu na prova da segunda fase (esse um pouquinho mais complicado!). Esse segundo eu pretendo implementar e depois até fazer um artigo sobre…

Depois, o Fábio nos deu algumas dicas, principalmente sobre os cálculos problemáticos que o computador faz com pontos flutuantes (algo bem interessante, que eu não entendia porque acontecia). Por exemplo, quando criamos um double x=0.1 o seu valor não é 0.1, mas sim o 1/1010 (em binário) que dá uma dízima periódica! E isso não é muito agradável, pode gerar até loops infinitos… Então, ele sugeriu que criássemos uma função para comparar dois números reais, com um código como esse:

/*
USO: Substituir...
x == y <==> cmp(x, y) == 0
x != y <==> cmp(x, y) != 0
x < y <==> cmp(x, y) < 0
x ### y <==> cmp(x, y) ### y

O "###" é "qualquer-coisa". Hehehe...
*/

#include <math.h>

const double EPS = 1.0e-10

int cmp(double x, double y) {
	if (fabs(x-y)<EPS) {
		return 0;
	} else if (x>y) {
		return 1;
	} else {
		return -1;
	}
}

Foi um bom ponto de partida legal, começamos de leve. Ainda não sei sobre o quê será a aula de amanhã…

Seletiva IOI

Neste ano vão haver quatro provas para selecionar os quatro participantes que irão representar o Brasil na Olimpíada Internacional de Informática em agosto, no México. As três primeiras, identificadas como “testes” no calendário da seletiva, terão apenas um problema e durarão duas horas cada uma. A última será no domingo, às 7h45min, terá três questões e durará cinco horas (pô, vou perder o comecinho do jogo de Brasil contra Austrália!). Achei legal esse método, mas como o César Kawakami disse: dessa maneira, não treinamos a estratégia, que é algo importante para a prova da IOI.

Por enquanto é só. Se der tempo, pretendo colocar um post por dia sobre o curso até o final dessa semana. :)

Ontem, no período da tarde, foi aplicada a prova da primeira fase da OBI2006, modalidade Programação Nível 2. Já que nem todos os colégios submeteram as soluções de seus alunos, ainda não vou publicar os meus códigos nem o enunciado dos problemas, mas apenas escrever sobre o que achei da prova (assuntos separados em tópicos).

Tempo de Prova

O caderno foi composto por cinco questões, para serem resolvidas em cinco horas. Na minha opinião, foi tempo até demais para o nível dos problemas. Acabei a prova em pouco mais de três horas (depois de criar outros casos de teste, ver a complexidade dos algoritmos e tudo…).

Dificuldade da Prova

Embora no começo eu sempre leve um susto, no fim achei a prova fácil. Fiz as cinco questões, acho que acertei todas e a complexidade de nenhum dos meus algoritmos ficou muito pesada (mas também nunca se sabe…). Espero tirar uma nota superior a 400 (de 500) e acho que é possível até eu ter gabaritado.

Complexidade

Neste ano, o pessoal deixou a parte de tempo bem fácil. Ao invés de ser um conjunto de teste em cada entrada, foi apenas um teste por entrada. A conseqüência é que, além da questão de tempo ficar mais fácil, também não precisamos nos preocupar em zerar as variáveis a cada loop.

Problema mais difícil

O melhor problema da prova foi, na minha opinião, o Escada Perfeita. Infelizmente, não posso comentar muito a respeito dele até todos submeterem suas soluções, mas esse problema foi muito bom.

No meio de um problema de grafos (Museu), dois de coisas básicas tipo entrada/saída (Truco e Jogo de Cartas) e um problema para mostrar que sabemos mexer com matrizes (Colheita de Caju); o sistema de equações que dava pra montar neste problema (Escada Perfeita) baseado na fórmula de soma de PAs (aquela lenda do Gauss quando tinha cinco anos…) e depois um algoritmo guloso, fizeram com que eu ficasse mais de uma hora tentando encontrar a solução (que ficou com complexidade O(n)). Depois crio um post para comentar mais a respeito!

Enfim… Não posso entrar em muitos detalhes por enquanto e nem tenho certeza de como fui. A fase pós-prova/pré-nota é sempre complicada… Mas, se não cometi erros que [se existirem] devo perceber e comentar nos próximos artigos, rumo a segunda fase!

Pessoal que participou também, comentem aí dizendo como foram!

No último artigo, conhecemos a representação chamada “grafo” da seguinte maneira:

Como todos sabemos, seria bem difícil trabalhar uma árvore assim na programação! Por isso, existem várias maneiras de representar um grafo. Nesta série só vou usar as duas mais populares:

• Matriz de Adjacência
• Lista de Adjacência

Poderíamos falar também sobre a Matriz de Incidência, mas eu nunca precisei utilizá-la, então prefiro só entrar nessas duas mesmo.

Cada vértice é um número

Para representar um grafo, cada vértice sempre vai ser um número. No caso de você querer representar amizade entre duas pessoas, como no exemplo do Orkut no último artigo, você cria um vetor chamado nome[] que contém o nome de cada número…

1. Eu
2. João
3. Maria
4. José
5. Pedro

Matriz de Adjacência

A matriz de adjacência é uma matriz de N x N (onde N é o número de vértices do grafo). Ela inicialmente é preenchida toda com 0 e quando há uma relação entre o vértice do x (número da coluna) com o do y (número da linha), matriz[x][y] é marcado um 1.

Vamos escrever este grafo aqui usando uma matriz de adjacência:

Matriz Inicial

Relações do nosso grafo

Já que o grafo não é orientado, a relação 1–2 significa 2–1 também.

• 1–2 (2–1)
• 1–3 (3–1)
• 2–3 (3–2)
• 2–4 (4–2)
• 4–5 (5–4)

Essas são as cinco arestas do nosso grafo. Vamos representá-la na matriz de adjacência:

Simetria

Uma das características da matriz de adjacência quando o grafo não é orientado é a simetria encontrada na “diagonal”. É interessante que se lermos uma coluna de índice v ou uma linha de índice v vamos encontrar a mesma coisa.

Problemas da OBI

Alguns desses programas são complicados, mas isto não entra em questão. Apenas dê uma olhada no recebimento da entrada deles. Todos estão em C. O que eles têm em comum é a utilização de uma matriz de adjacência para guardar o grafo (geralmente nomeada g):

• Ambulância
• Batuíra +
• Carga Pesada * +
• Dengue
• Dominó
• Manutenção
• Número de Erdos X
• Orkut *
• Pedágio
• Rede Ótica

* – Grafo orientado
+ – Grafo ponderado (veremos no próximo artigo)
X – Não queira ver esse problema. Nunca vi solução mais feia. Já estou providenciando uma implementação mais decente… ;)

Descobrir o grau de cada vértice

Eu não disse pra vocês que era fácil conseguir emprego no Orkut? Hehehe… Vamos pensar como podemos descobrir o grau (relembrando… o número de arestas que cada vértice tem OU o número de amigos que cada pessoa tem) na matriz de adjacências. Não basta contar quantos 1s tem na sua linha correspondente? Então façamos isto.

para i $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
 grau $\leftarrow{}$ 0
 para j $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
  se matriz[i][j] = 1, então
   grau $\leftarrow{}$ grau + 1
  fim-se
 fim-para
 imprima “O vértice ” i ” tem grau ” grau ”.”
fim-para

O custo é $\Theta{}(n^{2})$ até no melhor caso… Será que não há uma maneira mais simples de fazer isso? Imagina um negócio do tamanho do Orkut. Milhões de pessoas… Não seria bem mais fácil se ao invés de termos que passar por todos os vértices, só passarmos pelos amigos? Não poderíamos colocar somente seus amigos num vetor? É por isto que utilizamos a lista de adjacência.

Lista de Adjacência

A lista de adjacência consiste em criar um vetor para cada vértice. Este vetor contém cada vértice que o vértice “conhece” (tem uma aresta para). Geralmente é representada com uma matriz, porque cada vértice vai precisar de um vetor diferente, não é? Já que eu não vou ser duas vezes “amigo” de ninguém, então podemos fazer uma matriz de NxN.

A lista consiste em escrever para cada número de linha (= vértice) seus amigos, da seguinte maneira:

1. 2, 3
2. 1, 3, 4
3. 1, 2
4. 2, 5
5. 4

Portanto, na programação seria representado da seguinte maneira:

O método da lista de adjacências tem várias vantagens: dependendo de como você implementa você não precisa inicializar a lista (zerar), as buscas são bem mais rápidas (você só passa pelos vértices que são “amigos” do atual) e geralmente você já tem o grau do vértice na ponta da língua (eu, pelo menos, sempre uso um vetor cont que contém o número de amigos de cada vértice para ficar mais fácil inserir o próximo elemento na lista – lista[cont[v]++]=w).

Como implementar

Vamos trabalhar com uma entrada de vários x, y, indicando relação entre x-y (y-x) até que x=0 e y=0. O grafo não é orientado.

Matriz de Adjacências

para i $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
 para j $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
  matriz[i][j] $\leftarrow{}$ 0
 fim-para
fim-para

enquanto (recebe x, y e x $\neq{}$ 0), faça
 matriz[x][y] $\leftarrow{}$ 1
 matriz[y][x] $\leftarrow{}$ 1
fim-enquanto

Tem vários exemplos implementados em C [aqui][14].

Lista de Adjacências

para i $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
 grau[i] $\leftarrow{}$ 0
fim-para

enquanto (recebe x, y e x $\neq{}$ 0), faça
 lista[x]grau[x]++] $\leftarrow{}$ y
 lista[y]grau[y]++] $\leftarrow{}$ x
fim-enquanto

Para quem não programa em C, o variavel++ significa “incrementar variavel depois da instrução atual”.

As duas juntas

para i $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
 para j $\leftarrow{}$ 1 até N, faça
  matriz[i][j] $\leftarrow{}$ 0
 fim-para
 grau[i] $\leftarrow{}$ 0
fim-para

enquanto (recebe x, y e x $\neq{}$ 0), faça
 matriz[x][y] $\leftarrow{}$ 1
 matriz[y][x] $\leftarrow{}$ 1
 lista[x]grau[x]++] $\leftarrow{}$ y
 lista[y]grau[y]++] $\leftarrow{}$ x
fim-enquanto

Qual a representação que devo utilizar?

Isso depende totalmente do problema. Em alguns casos, o mais barato é usar as duas representações juntas. As vantagens da lista de adjacências eu já escrevi [aqui][15]. A única vantagem da matriz de adjacências é você em tempo constante (não é nem linear) saber se um vértice é amigo de outro. Afinal, basta testar matriz[v][w].

Até maio do ano passado, eu não tinha aprendido isso direito e sempre usava a matriz de adjacências. Por isso muitos dos meus problemas estão resolvidos de forma pouco eficiente… e isso pode ser crucial numa prova. Por isso, saiba usar as duas formas!